Το αποτέλεσμα σε μία πρόταση: Το κλασικό μοντέλο επέλεξε 9 μετοχές. Με φίλτρο ρευστότητας και όρια 20% ανά μετοχή, 35% ανά κλάδο και 2% ελάχιστη ενεργή θέση, η πρακτική εκδοχή κατέληξε σε 8 μετοχές.
Ένα παλιό μοντέλο με πολύ σύγχρονο ερώτημα
Πώς επιλέγονται οι μετοχές ενός χαρτοφυλακίου όταν δεν αρκεί να γνωρίζουμε ποια είχε τη μεγαλύτερη απόδοση; Και πώς μετατρέπεται μια κατάταξη τίτλων σε συγκεκριμένα ποσοστά συμμετοχής; Το μοντέλο των Edwin Elton και Martin Gruber δίνει μια από τις πιο καθαρές απαντήσεις: κάθε μετοχή αξιολογείται με βάση την πρόσθετη απόδοση που προσφέρει πάνω από την ασφαλή τοποθέτηση, για κάθε μονάδα συστηματικού κινδύνου. Στη συνέχεια ελέγχεται ο ειδικός της κίνδυνος, καθορίζεται ένα κρίσιμο όριο επιλογής και παράγονται τα τελικά βάρη.
Η εφαρμογή που παρουσιάζεται εδώ δεν είναι ένα θεωρητικό παράδειγμα. Χρησιμοποιεί την τρέχουσα σύνθεση των FTSE/ATHEX Large Cap και FTSE/ATHEX Mid Cap, δηλαδή 45 μετοχές, ημερήσιες τιμές και χρηματικές διανομές από τις 30 Αυγούστου 2021 έως τις 31 Αυγούστου 2026, καθώς και εβδομαδιαίες συνολικές αποδόσεις. Το επιτόκιο χωρίς κίνδυνο είναι το €STR 2,190% με ημερομηνία αναφοράς 28 Αυγούστου 2026.
Το επενδυτικό σύμπαν και τα δεδομένα
Το σύμπαν σχηματίστηκε από 25 μετοχές του FTSE/ATHEX Large Cap και 20 μετοχές του FTSE/ATHEX Mid Cap. Η επιλογή αυτών των δύο δεικτών επιτρέπει να συμπεριληφθούν οι μεγαλύτερες ελληνικές εισηγμένες, αλλά και εταιρείες μεσαίας κεφαλαιοποίησης που μπορεί να προσφέρουν υψηλότερο excess return-to-beta. Παράλληλα, δημιουργεί ένα πραγματικό πρόβλημα: οι Mid Caps συχνά εμφανίζουν χαμηλότερη συναλλακτική δραστηριότητα, άρα το συμβατικό beta μπορεί να υποεκτιμά την έκθεσή τους στην αγορά.
Για τον λόγο αυτό, η κλασική εκδοχή χρησιμοποιεί το απλό beta της εβδομαδιαίας παλινδρόμησης, ενώ η πρακτική εκδοχή εφαρμόζει διόρθωση Dimson στις μετοχές του Mid Cap. Η διόρθωση προσθέτει τις επιδράσεις της προηγούμενης, της τρέχουσας και της επόμενης εβδομαδιαίας μεταβολής της αγοράς, περιορίζοντας τη μεροληψία που δημιουργούν οι μη συγχρονισμένες συναλλαγές.
- Χρονικός ορίζοντας: έως 5 έτη, με εβδομαδιαίες παρατηρήσεις.
- Αγορά αναφοράς: Γενικός Δείκτης Χρηματιστηρίου Αθηνών.
- Risk-free rate: €STR 2,190%, ή 0,04167% σε εβδομαδιαία βάση.
- Ελάχιστο ιστορικό: 52 εβδομαδιαίες παρατηρήσεις.
- Φίλτρο ρευστότητας πρακτικής λύσης: μέσος ημερήσιος τζίρος τουλάχιστον €200.000.
Από τις 45 μετοχές, οι 44 διέθεταν το ελάχιστο απαιτούμενο ιστορικό. Οι νεότερες εισαγωγές και οι πρόσφατοι εταιρικοί μετασχηματισμοί παραμένουν στο σύμπαν, αλλά αξιολογούνται με το μικρότερο διαθέσιμο δείγμα τους. Αυτό είναι σημαντικό, διότι μια πολύ υψηλή απόδοση σε μικρότερο ιστορικό δεν έχει την ίδια στατιστική βαρύτητα με μια απόδοση που παρατηρείται επί ολόκληρη πενταετία.
Το μέρισμα δεν είναι φίλτρο - είναι μέρος της απόδοσης
Η αρχική ανάμνηση του μοντέλου ήταν απολύτως σωστή: οι μετοχές κατατάσσονται με βάση την απόδοση και το beta. Το μέρισμα όμως δεν χρησιμοποιείται ως ξεχωριστό φίλτρο και δεν επιλέγονται απλώς οι εταιρείες με το υψηλότερο dividend yield. Η χρηματική διανομή ανά μετοχή ενσωματώνεται στην πραγματική συνολική απόδοση της περιόδου.
Αν μια μετοχή ξεκινά από €100, κλείνει στα €106 και διανέμει μέρισμα €4, η άνοδος της τιμής είναι 6%, αλλά η συνολική απόδοση είναι 10%. Στην εφαρμογή, οι εβδομαδιαίες συνολικέςαποδόσεις παράγονται από προσαρμοσμένες τιμές και οι πραγματικές διανομές εμφανίζονται χωριστά για να μπορούν να ελεγχθούν. Έτσι, μια εταιρεία που επιστρέφει συστηματικά κεφάλαιο στον μέτοχο δεν τιμωρείται επειδή μέρος της απόδοσής της δεν εμφανίζεται στην τιμή.
Κρίσιμη διάκριση: Το μοντέλο δεν λέει «αγόρασε τη μετοχή με το μεγαλύτερο μέρισμα». Λέει «μέτρησε σωστά όλη την απόδοση, μαζί με το μέρισμα, και μετά σύγκρινέ την με το beta και τον ειδικό κίνδυνο».
Το single-index model: τι εξηγεί η αγορά και τι μένει στη μετοχή
R(i) = alpha(i) + beta(i) x R(m) + e(i)
beta: συστηματικός κίνδυνος | e: ειδική ή μη συστηματική απόδοση
Το beta μετρά πόσο ευαίσθητη είναι η απόδοση της μετοχής στις μεταβολές της αγοράς. Beta ίσο με 1 σημαίνει ότι, κατά μέσο όρο, η μετοχή κινείται με παρόμοια ένταση με την αγορά. Beta μικρότερο από 1 υποδηλώνει ηπιότερη αντίδραση, ενώ beta μεγαλύτερο από 1 μεγαλύτερη ευαισθησία. Το υπόλοιπο της παλινδρόμησης, το e(i), είναι το τμήμα της απόδοσης που δεν εξηγείται από την αγορά. Η διακύμανσή του, sigma²(e,i), αποτυπώνει τον ειδικό κίνδυνο της εταιρείας.
Αυτό είναι το σημείο όπου το Elton-Gruber διαφοροποιείται από μια απλή λίστα με τις καλύτερες αποδόσεις. Δύο μετοχές μπορεί να προσφέρουν την ίδια ιστορική απόδοση, αλλά εκείνη που χρειάζεται μικρότερο beta και εμφανίζει μικρότερο ειδικό κίνδυνο είναι πιο αποτελεσματική για την κατασκευή χαρτοφυλακίου.
Η κατάταξη: excess return-to-beta
ERB(i) = [E(R(i)) - R(f)] / beta(i)
Πρόσθετη απόδοση πάνω από το risk-free rate ανά μονάδα συστηματικού κινδύνου. Ο αριθμητής είναι η πλεονάζουσα απόδοση. Η διαίρεση με το beta δείχνει πόση ανταμοιβή προσφέρει η μετοχή για κάθε μονάδα κινδύνου αγοράς. Όσο υψηλότερο είναι το ERB, τόσο ψηλότερα κατατάσσεται η μετοχή. Η κατάταξη είναι η αφετηρία, όχι το τελικό χαρτοφυλάκιο: η ειδική διακύμανση κάθε τίτλου θα επηρεάσει τόσο το cut-off όσο και το βάρος.
Το cut-off C: πού σταματά η επιλογή
C(i) = [sigma²(m) x sum A(j)] / [1 + sigma²(m) x sum B(j)]
A(j) = [E(Rj)-Rf]betaj/sigma²(e,j) | B(j) = beta²j/sigma²(e,j)
Ο υπολογισμός ξεκινά από τη μετοχή με το υψηλότερο ERB και προσθέτει διαδοχικά τις επόμενες. Για κάθε θέση της κατάταξης υπολογίζεται ένα C(i). Η τελευταία μετοχή για την οποία ισχύει ERB(i) >= C(i) καθορίζει το κρίσιμο C. Όλες οι μετοχές με ERB μεγαλύτερο από το C περνούν στο βέλτιστο χαρτοφυλάκιο.
Στην πρακτική εφαρμογή, η εβδομαδιαία διακύμανση της αγοράς ήταν 0,000636 και το τελικό cut-off διαμορφώθηκε σε 0.7120% την εβδομάδα. Οι πρώτες οκτώ μετοχές παρέμειναν πάνω από το όριο. Η αμέσως επόμενη, η PPA, είχε ERB 0.6922%, χαμηλότερο από το τότε C(i) 0.7107%, και αποκλείστηκε.
Από το Z(i) στα τελικά βάρη
Z(i) = [beta(i) / sigma²(e,i)] x [ERB(i) - C*]
w(i) = Z(i) / sum Z(j)
Η κανονικοποίηση εξασφαλίζει ότι το άθροισμα των βαρών ισούται με 100%. Το Z(i) αυξάνεται όταν η μετοχή βρίσκεται αρκετά πάνω από το cut-off, έχει υψηλή ανταμοιβή ανά μονάδα beta και σχετικά μικρό ειδικό κίνδυνο. Στην αμιγή λύση δεν υπάρχει ανώτατο βάρος. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε υπερβολική συγκέντρωση, ιδίως όταν μια πρόσφατα εισηγμένη μετοχή έχει εξαιρετικά ισχυρή ιστορική επίδοση στο μικρό διαθέσιμο δείγμα της.
Πλήρες αριθμητικό παράδειγμα: OPTIMA
Η OPTIMA βρίσκεται στην κορυφή της πρακτικής κατάταξης. Η αριθμητική της δείχνει ολόκληρη τη διαδρομή από την ιστορική απόδοση έως το τελικό ποσοστό.
- Αριθμητικός μέσος ετήσιας ιστορικής απόδοσης: 59,16%.
- Εβδομαδιαία αναμενόμενη απόδοση: 59,16% / 52 = 1,1378%.
- Εβδομαδιαίο €STR: 0,04167%.
- Beta: 0,8724.
- Ειδική διακύμανση: 0,001185.
ERB(OPTIMA) = (1,1378% - 0,04167%) / 0,8724 = 1,2564%
Z(OPTIMA) = (0,8724 / 0,001185) x (1,2564% - 0,7120%) = 4,0067
Raw weight = 4,0067 / 13,4164 = 29,86%
Το 29,86% είναι το βάρος που προκύπτει από το μαθηματικά αμιγές μοντέλο της πρακτικής κατάταξης πριν από τους περιορισμούς. Επειδή όμως το επενδύσιμο χαρτοφυλάκιο δεν επιτρέπει πάνω από 20% σε μία μετοχή ούτε πάνω από 35% σε έναν κλάδο, το τελικό βάρος της OPTIMA μειώνεται σε 18,08%. Μαζί με τη Bank of Cyprus, ο τραπεζικός κλάδος φθάνει ακριβώς το όριο του 35%.
Το χαρτοφυλάκιο που προέκυψε
Η τελική κατανομή είναι: OPTIMA 18,1%, BOCHGR (Τράπεζα Κύπρου) 16,9%, AKTR (Aktor) 16,5%, MOH (Motor Oil)14,2%, CENER 12,1%, KRI (Κρι Κρι) 10,9%, ELPE (Hellenic Energy) 6,5% και ELLAKTOR 4,8%. Σε επίπεδο κλάδων, οι τράπεζες αντιστοιχούν στο 35,0%, οι βιομηχανικές εταιρείες στο 33,4%, η ενέργεια στο 20,7% και τα βασικά καταναλωτικά αγαθά στο 10,9%.
Τι μας λέει - και τι δεν μας λέει - το αποτέλεσμα
Το μοντέλο εντοπίζει τις μετοχές που, στο συγκεκριμένο ιστορικό δείγμα, προσέφεραν την καλύτερη σχέση πλεονάζουσας απόδοσης προς beta, λαμβάνοντας υπόψη τον ειδικό τους κίνδυνο. Δεν αποτιμά εταιρείες, δεν εξετάζει κέρδη, χρέος, διοίκηση ή προοπτικές κλάδου και δεν υποστηρίζει ότι οι πολύ υψηλές ιστορικές αποδόσεις θα επαναληφθούν.
Προσοχή στην E(R): Οι ετήσιες αποδόσεις του πίνακα είναι ο αριθμητικός μέσος των εβδομαδιαίων total returns επί 52. Είναι εκτιμήσεις από το παρελθόν, όχι αναμενόμενες αποδόσεις με την καθημερινή επενδυτική έννοια ούτε στόχοι τιμών.
Survivorship bias: χρησιμοποιείται η σημερινή σύνθεση των δεικτών, όχι η ιστορική σύνθεση κάθε εβδομάδας.
Μικρότερο ιστορικό: OPTIMA και BOCHGR διαθέτουν λιγότερες παρατηρήσεις από τις παλαιότερες εισηγμένες.
Estimation risk: μικρές αλλαγές στην περίοδο ή στο risk-free rate μπορούν να αλλάξουν τη σειρά ERB.
Ρευστότητα: το φίλτρο €200.000 είναι πρακτικό κατώφλι, όχι απόλυτη εγγύηση εκτέλεσης χωρίς κόστος.
Κόστη και φόροι: δεν αφαιρέθηκαν από τις ιστορικές αποδόσεις. Στο workbook υπάρχουν παράμετροι 0,1% φόρου πώλησης και 5% παρακράτησης μερισμάτων για μελλοντικό backtest.
Θεμελιώδη μεγέθη: το μοντέλο πρέπει να συνοδεύεται από έλεγχο αποτίμησης, ποιότητας κερδών, μόχλευσης και εταιρικής διακυβέρνησης.
Πώς θα συντηρείται το χαρτοφυλάκιο
Η κατανομή δεν πρέπει να θεωρηθεί μόνιμη. Η συμφωνημένη διαδικασία είναι τριμηνιαία ανανέωση, την πρώτη εργάσιμη ημέρα Ιανουαρίου, Απριλίου, Ιουλίου και Οκτωβρίου. Σε κάθε επανυπολογισμό θα ενημερώνονται η σύνθεση των δύο δεικτών, οι τιμές, οι διανομές, το €STR, τα beta, οι ειδικές διακυμάνσεις, η κατάταξη ERB, το C και τα βάρη. Η ουσιαστική πληροφορία κάθε τριμήνου δεν είναι μόνο το νέο χαρτοφυλάκιο. Είναι και οι μεταβολές: ποια μετοχή εισήλθε ή εξήλθε, ποια θέση άλλαξε πάνω από δύο ποσοστιαίες μονάδες, αν αυξήθηκε η κλαδική συγκέντρωση και αν μια νέα επιλογή στηρίζεται σε επαρκές ιστορικό. Με αυτόν τον τρόπο το μοντέλο λειτουργεί ως πειθαρχημένο σύστημα λήψης αποφάσεων, όχι ως μηχανική εντολή αγοράς.
Εν κατακλείδι
Το Elton-Gruber μετατρέπει μια απλή ιδέα - κατάταξη με βάση απόδοση και beta - σε ολοκληρωμένη διαδικασία κατασκευής χαρτοφυλακίου. Τα μερίσματα εισέρχονται σωστά στη συνολική απόδοση. Το beta απομονώνει τον κίνδυνο αγοράς. Η ειδική διακύμανση τιμωρεί τις ασταθείς, εταιρικά ιδιοσυγκρασιακές αποδόσεις. Το cut-off αποκλείει τις μετοχές που δεν προσφέρουν αρκετή ανταμοιβή και το Z(i) κατανέμει το κεφάλαιο μεταξύ όσων περνούν το όριο.
Στην ελληνική εφαρμογή, η αμιγής μαθηματική λύση χρειάστηκε περιορισμούς για να γίνει επενδύσιμη. Το τελικό αποτέλεσμα των οκτώ μετοχών διατηρεί το σήμα του μοντέλου, αλλά αποφεύγει την υπερβολική εξάρτηση από δύο τραπεζικούς τίτλους. Αυτή είναι ίσως και η σημαντικότερη πρακτική διδασκαλία: ένα μοντέλο επιλογής παράγει πληροφορία· η διαχείριση κινδύνου τη μετατρέπει σε χαρτοφυλάκιο.
Add comment
Comments